Visualise les lois de Kepler en action. Modifie l'excentricité, la masse du Soleil et la vitesse initiale pour comprendre pourquoi les planètes décrivent des ellipses, pourquoi elles accélèrent près du Soleil, et comment la 3ᵉ loi relie la période à la taille de l'orbite — du collège à la mécanique newtonienne complète.
Le Soleil est l'objet le plus massif du système solaire. Les planètes, dont la Terre, tournent autour de lui en suivant des trajectoires quasi circulaires appelées orbites.
En première approche, on modélise l'orbite de la Terre comme un cercle parcouru à vitesse constante. La Terre met environ 365,25 jours (1 année) pour faire un tour complet — c'est sa période de révolution.
Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R et de période T, la vitesse v est constante et donnée par :
Avec R ≈ 150 millions de km et T ≈ 365 jours, on obtient v ≈ 30 km/s — la Terre se déplace très vite dans l'espace !
Le mouvement de la Terre n'a de sens que par rapport à un référentiel. Dans le référentiel héliocentrique (centré sur le Soleil), la Terre est en mouvement. Dans le référentiel terrestre, c'est le Soleil qui semble se déplacer dans le ciel.
On décrit la position de la Terre par un vecteur position, sa vitesse par le vecteur vitesse ⃗v (tangent à la trajectoire), et sa variation de vitesse par le vecteur accélération ⃗a.
La relation fondamentale de la dynamique relie la somme des forces appliquées à un système à son accélération :
Pour la Terre en orbite, la seule force notable est la force de gravitation exercée par le Soleil, dirigée vers le centre du Soleil (force centripète).
avec G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M la masse du Soleil, m la masse de la Terre, et r la distance Terre-Soleil.
Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et de norme :
En combinant avec la loi de gravitation, on retrouve la 3ᵉ loi de Kepler pour une orbite circulaire :
Cette loi est une conséquence directe de la conservation du moment cinétique, car la force de gravitation est une force centrale (toujours dirigée vers le Soleil), donc son moment par rapport au Soleil est nul.
L'énergie mécanique d'un satellite (ou d'une planète) en orbite est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de gravitation :
Pour une orbite elliptique, l'énergie mécanique totale est constante et ne dépend que du demi-grand axe a :
Au cours du mouvement, Ec et Epg varient (la vitesse augmente quand r diminue), mais leur somme reste constante — c'est le principe de conservation de l'énergie mécanique.
En combinant la conservation de l'énergie et la loi des aires, on peut montrer que la vitesse est maximale au périhélie (r minimal) et minimale à l'aphélie (r maximal) :
Pour une orbite circulaire (e = 0), la vitesse est constante et l'accélération est uniquement centripète, de norme a = G·M/r² = v²/r. L'énergie mécanique se simplifie :
Un satellite géostationnaire reste fixe par rapport à un point de la Terre : son orbite est circulaire, équatoriale, de période égale à la période de rotation de la Terre (≈ 23 h 56 min). En appliquant la 3ᵉ loi de Kepler avec M la masse de la Terre, on trouve un rayon d'orbite unique r ≈ 42 200 km (altitude ≈ 36 000 km).
Démarche type au baccalauréat : (1) définir le système et le référentiel d'étude (en général héliocentrique ou géocentrique, supposé galiléen), (2) faire le bilan des forces, (3) appliquer la 2ᵉ loi de Newton pour établir l'équation différentielle ou la nature du mouvement, (4) utiliser les lois de Kepler ou la conservation de l'énergie selon ce qui est demandé, (5) faire l'analyse dimensionnelle / numérique du résultat.