Lance un projectile, ajuste l'angle et la vitesse initiale, trace sa trajectoire en temps réel. Mesure la hauteur maximale, la portée, et retrouve les équations du mouvement — de la chute verticale simple en TCS au mouvement parabolique complet avec décomposition vectorielle en 1ère.
Un objet est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids (on néglige tous les frottements, notamment ceux de l'air). C'est une bonne approximation pour un objet dense lâché sur une courte distance.
Le poids P d'un objet de masse m est une force verticale, dirigée vers le bas, de valeur :
où g est le champ de pesanteur (ou "intensité de la gravité"), environ g ≈ 9,8 N/kg (ou m/s²) sur Terre. Sa valeur dépend de l'astre : elle est plus faible sur la Lune, plus forte sur Jupiter.
Lâché sans vitesse initiale, un objet en chute libre tombe verticalement avec une vitesse qui augmente régulièrement (mouvement rectiligne uniformément accéléré). Plus la durée de chute est grande, plus la vitesse à l'arrivée est grande.
Pour une chute d'une hauteur h sans vitesse initiale, la vitesse à l'arrivée au sol et la durée de chute sont liées par :
Le mouvement est décrit par trois vecteurs : le vecteur position OM⃗(t), le vecteur vitesse v⃗(t) (tangent à la trajectoire, dérivée de la position), et le vecteur accélération a⃗(t) (dérivée de la vitesse).
En chute libre, la seule force est le poids P⃗ = m·g⃗. La 2ᵉ loi de Newton donne :
L'accélération est donc constante, verticale, vers le bas, de norme g — indépendante de la masse de l'objet (tous les objets en chute libre ont la même accélération, qu'ils soient lourds ou légers).
On choisit un repère (Ox horizontal, Oy vertical vers le haut), avec un lancer depuis le point (0, y₀) à l'instant t = 0, avec une vitesse initiale v₀ faisant un angle α avec l'horizontale.
Composantes de la vitesse initiale :
Composantes de l'accélération : aₓ = 0, aᵥ = −g (le mouvement horizontal n'est pas accéléré, seul l'axe vertical subit la pesanteur).
En intégrant deux fois, on obtient les équations horaires de la vitesse :
puis les équations horaires de la position :
En éliminant le temps t entre x(t) et y(t), on obtient l'équation de la trajectoire — une parabole :
Le principe clé du mouvement parabolique est l'indépendance des deux directions : horizontalement, le mouvement est rectiligne uniforme (vₓ constante) ; verticalement, c'est un mouvement uniformément accéléré identique à une chute libre verticale.
La hauteur maximale H est atteinte quand vᵥ(t) = 0, soit à l'instant tH = v₀·sin(α)/g :
La portée (distance horizontale parcourue avant de retomber à la hauteur de départ, y = y₀) s'obtient en résolvant y(t) = y₀ :
La portée est maximale pour α = 45° (lorsque le point d'arrivée est à la même hauteur que le point de départ).
Le théorème de l'énergie cinétique relie la variation d'énergie cinétique au travail des forces appliquées. Pour la chute libre (seul le poids travaille) :
Ceci est équivalent à la conservation de l'énergie mécanique : Em = Ec + Epp = constante, où Epp = m·g·y est l'énergie potentielle de pesanteur.
Cette approche permet de retrouver la vitesse à n'importe quelle hauteur sans connaître la durée de la chute — utile quand le temps n'est pas demandé.
Le modèle de la chute libre néglige les frottements de l'air (poussée d'Archimède et résistance de l'air). Cette approximation est d'autant plus valable que l'objet est dense et compact, et que sa vitesse reste modérée. Pour un objet léger ou à grande vitesse (parachutiste, feuille de papier), les frottements ne sont plus négligeables.
Aux vitesses usuelles, la force de frottement de l'air est proportionnelle au carré de la vitesse, dirigée en sens opposé au mouvement :
où k regroupe la forme de l'objet, sa section, et la masse volumique de l'air. La 2ᵉ loi de Newton donne alors, pour une chute verticale (axe vers le bas) :
Au début, v est petit donc a ≈ g (on retrouve la chute libre). Lorsque v augmente, le terme de frottement croît, jusqu'à ce que les deux termes s'équilibrent : dv/dt = 0. La vitesse devient alors constante, appelée vitesse limite :
À la vitesse limite, le mouvement est rectiligne uniforme (a = 0), bien que la résultante des forces ne soit pas nulle pour autant à elle seule — c'est la somme du poids et du frottement qui s'annule.
Avec frottements, l'indépendance des mouvements horizontal et vertical n'est plus valable : la force de frottement dépend de la vitesse totale ‖v⃗‖, donc aₓ et aᵥ sont tous deux non nuls et couplés. La trajectoire n'est alors plus une parabole parfaite : elle est dissymétrique, plus raide à la descente qu'à la montée, et la portée réelle est inférieure à la portée théorique sans frottement.
On peut étudier une chute ou un tir parabolique en filmant le mouvement et en pointant la position de l'objet image par image (à intervalle de temps τ constant). On obtient alors une suite de positions M₀, M₁, M₂... permettant de calculer :
L'objectif typique est de vérifier que a⃗ est constant, vertical, et de norme proche de g — confirmant le modèle de la chute libre.
Le même formalisme (force constante, donc accélération constante, donc trajectoire parabolique) s'applique à une particule chargée dans un champ électrique uniforme (déviation entre deux plaques d'un condensateur, programme de mécanique/électricité 2Bac). Seule l'expression de la force change : F⃗ = q·E⃗ au lieu de P⃗ = m·g⃗.