Circuits RLC et Oscillations Libres
1. Décharge d'un condensateur dans une bobine
On charge totalement un condensateur (de capacité $C$), puis on le relie à une bobine (d'inductance $L$ et de résistance interne $r$) et un conducteur ohmique (de résistance $R$). L'énergie va basculer du condensateur vers la bobine, créant des oscillations électriques.
La résistance totale du circuit est $R_{tot} = R + r$. Selon la valeur de $R_{tot}$, on observe 3 régimes :
- Régime Périodique ($R_{tot} = 0$) : Oscillations sinusoïdales pures. L'amplitude ne diminue jamais (circuit idéal).
- Régime Pseudo-périodique ($R_{tot}$ faible) : Oscillations amorties. L'amplitude diminue progressivement à cause de l'effet Joule.
- Régime Apériodique ($R_{tot}$ grande) : Pas d'oscillations. Le condensateur se décharge directement vers zéro.
2. Le circuit idéal LC (Oscillateur non amorti)
Si on néglige toute résistance ($R_{tot} = 0$), on applique la loi d'additivité des tensions : $u_L + u_C = 0$. Sachant que $u_L = L \frac{di}{dt}$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$, on obtient :
L'équation différentielle :
$$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{L \cdot C} u_C = 0$$La solution de cette équation est une fonction sinusoïdale :
$$u_C(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)$$Où $U_m$ est l'amplitude maximale, $\varphi$ la phase à l'origine, et $T_0$ la période propre, donnée par la formule de Thomson :
$T_0 = 2\pi\sqrt{L \cdot C}$
3. Le circuit réel RLC (Amortissement)
Dans la réalité, il y a toujours une résistance $R_{tot} > 0$. L'équation différentielle devient alors :
La présence de la dérivée première $\frac{du_C}{dt}$ (liée à $R_{tot}$) explique l'amortissement des oscillations. La durée d'une oscillation est appelée pseudo-période $T$.
Pour un amortissement faible, on admet que $T \approx T_0$.
4. Échanges d'énergie
L'énergie totale du circuit est la somme de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur ($E_e$) et de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine ($E_m$).
$$E_{tot} = E_e + E_m = \frac{1}{2} C u_C^2 + \frac{1}{2} L i^2$$- Dans un circuit LC idéal : $E_{tot} = \text{Constante}$. L'énergie se transvase parfaitement entre le condensateur et la bobine.
- Dans un circuit RLC réel : $E_{tot}$ diminue au cours du temps. On le démontre en dérivant l'énergie par rapport au temps :
$\frac{dE_{tot}}{dt} = - R_{tot} \cdot i^2 < 0$.
Cette perte d'énergie sous forme de chaleur est due à l'effet Joule dans la résistance.