Les Dipôles RC et RL
1. Les stars du circuit : Condensateur et Bobine
En plus de la résistance $R$, l'électricité de 2ème Bac introduit deux nouveaux composants capables d'emmagasiner de l'énergie.
Le Condensateur (Capacité $C$) : Il stocke l'énergie sous forme électrique. La tension à ses bornes ne peut pas subir de variation brusque.
$$q = C \cdot u_C \quad \text{et} \quad i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$La Bobine (Inductance $L$ et résistance interne $r$) : Elle s'oppose à toute variation du courant (retard). Elle stocke l'énergie sous forme magnétique.
$$u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$$2. Le Dipôle RC : Charge d'un condensateur
Lorsqu'on branche un condensateur initialement déchargé en série avec une résistance $R$ et un générateur idéal de tension $E$, le condensateur va se charger progressivement.
Équation différentielle : D'après la loi d'additivité des tensions, on a $E = u_R + u_C$. En remplaçant $u_R$ par $R \cdot i$ et $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$, on obtient :
- La grandeur $\tau = R \cdot C$ est la constante de temps du circuit RC (en secondes). Elle caractérise la rapidité de la charge.
- L'énergie électrique emmagasinée est : $E_e = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2$.
3. Le Dipôle RL : Établissement du courant
Si on remplace le condensateur par une bobine, la logique est identique ! À la fermeture du circuit, le courant n'atteint pas sa valeur maximale instantanément car la bobine s'y oppose.
Équation différentielle : La loi d'additivité donne $E = u_R + u_L$. En remplaçant $u_R = R \cdot i$ et $u_L = r \cdot i + L \frac{di}{dt}$, on obtient (avec $R_{eq} = R + r$) :
- La constante de temps du circuit RL est : $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$.
- Le courant maximal atteint en régime permanent est : $I_0 = \frac{E}{R_{eq}}$.
- L'énergie magnétique emmagasinée est : $E_m = \frac{1}{2} L \cdot i^2$.
4. Le classique du Bac : Trouver $\tau$ graphiquement
Les équations différentielles ci-dessus ont des solutions exponentielles ($u_C(t)$ et $i(t)$) qui donnent des courbes caractéristiques en "S". Savoir lire ces courbes est indispensable.
- Méthode de la tangente : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente à l'origine ($t=0$) et l'asymptote horizontale du régime permanent (la ligne $y = E$ ou $y = I_0$).
- Méthode des 63% (Charge) : $\tau$ est le temps correspondant à $63\%$ de la valeur maximale. Tu calcules $0,63 \times E$, tu cherches cette valeur sur l'axe des ordonnées, et tu lis l'abscisse correspondante. (Note : pour une décharge ou une rupture de courant, on utilise $37\%$, soit $0,37 \times E$).