Travail du poids et Énergie Potentielle

1. Travail du poids d'un corps solide

Le poids $\vec{P}$ d'un corps est une force constante lorsque le déplacement s'effectue au voisinage de la surface de la Terre. Lors du déplacement de son centre d'inertie d'un point $A$ (d'altitude $z_A$) vers un point $B$ (d'altitude $z_B$), le travail du poids s'exprime par la relation suivante :

$$W_{A \rightarrow B}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$$

$W(\vec{P})$ : Travail du poids en Joules ($J$).
$m$ : Masse du solide en kilogrammes ($kg$).
$g$ : Intensité de la pesanteur en $N \cdot kg^{-1}$ ou $m \cdot s^{-2}$.
$z_A, z_B$ : Altitudes respectives des points $A$ et $B$ en mètres ($m$) sur un axe vertical orienté vers le haut.

💡 Propriété fondamentale :

Le travail du poids d'un corps solide ne dépend pas du chemin suivi par le mobile entre $A$ et $B$. Il dépend uniquement des altitudes initiale $z_A$ et finale $z_B$. On dit que le poids est une force conservative.

- Si le corps descend ($z_A > z_B$) : $W(\vec{P}) > 0$, le travail est moteur.

- Si le corps monte ($z_A < z_B$) : $W(\vec{P}) < 0$, le travail est résistant.

2. Énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur, notée $E_{pp}$, est l'énergie que possède un corps en raison de sa position par rapport à la Terre (son altitude).

Pour un solide de masse $m$ situé à une altitude $z$ sur un axe vertical orienté vers le haut, elle est définie par :

$$E_{pp} = m \cdot g \cdot z + C$$

Où $C$ est une constante d'intégration qui dépend du choix de l'état de référence.

📐 Choix de l'état de référence :

Par convention, on choisit généralement le niveau du sol ($z = 0$) comme état de référence où l'énergie potentielle est nulle ($E_{pp} = 0$), ce qui implique que la constante $C = 0$. La formule simplifiée devient alors :

$$E_{pp} = m \cdot g \cdot z$$

3. Relation entre travail du poids et énergie potentielle

Lors d'un déplacement d'un point $A$ vers un point $B$, la variation de l'énergie potentielle de pesanteur $\Delta E_{pp}$ du système est égale à l'opposé du travail du poids de ce corps :

$$\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A) = - W_{A \rightarrow B}(\vec{P})$$

Lors d'une **chute** (descente) : Le travail du poids est moteur ($W > 0$), donc la variation d'énergie potentielle est négative ($\Delta E_{pp} < 0$). Le corps **perd** de l'énergie potentielle.
Lors d'une **ascension** (montée) : Le travail du poids est résistant ($W < 0$), donc la variation d'énergie potentielle est positive ($\Delta E_{pp} > 0$). Le corps **gagne** de l'énergie potentielle.

4. Énergie mécanique et théorème de conservation

L'énergie mécanique $E_m$ d'un corps solide est la somme de son énergie cinétique ($E_c$) et de son énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp}$) :

$$E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2}m\cdot v^2 + m\cdot g\cdot z$$

Théorème de conservation :

Lorsqu'un corps solide est soumis uniquement à son poids (ou à des forces dont le travail est nul, comme la réaction d'un plan sans frottement), son énergie mécanique se conserve et reste constante au cours du temps :

$$E_m(A) = E_m(B) \implies \Delta E_m = 0$$

S'il y a des frottements, l'énergie mécanique ne se conserve pas ($\Delta E_m < 0$). Elle diminue en se dissipant sous forme d'énergie thermique (chaleur).